PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны. Точки M и N — середины ребер SA и SC соответственно.
а) B каком отношении плоскость BMN делит высоту SH пирамиды?
б) Найдите угол между плоскостью BMN и основанием пирамиды, если ребра пирамиды равны 12.
Решение. а) Обозначим T середину ребра AC, P — точку пересечения прямых MN и ST, Q — точку пересечения прямых BP и SH. Прямые BP и SH лежат в плоскости SBT. Так как отрезок MN — средняя линия треугольника SAC, то точка P — середина отрезка ST. Прямая BP лежит в плоскости BMN, следовательно, точка Q есть точка пересечения плоскости BMN с высотой SH. Запишем теорему Менелая для треугольника SOT и прямой BP, получим:
откуда
б) Заметим, что плоскости BAC и BMN содержат по одной из пары параллельных прямых AC и MN, следовательно, линия пересечения указанных плоскостей параллельна этим прямым. Прямая BT является проекцией прямой BP на плоскость АВС. При этом прямая BT перпендикулярна прямой AC, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая BP перпендикулярна прямой AC. Таким образом, каждая из прямых BP и BTперпендикулярны линии пересечения плоскостей BAC и BMN, а потому PBT — линейный угол угла между этими плоскостями. Находим:
Тогда:
где 
Таким образом,
то есть 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |