В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны. Точки M и N — середины ребер SA и SC соответственно.
а) B каком отношении плоскость BMN делит высоту SH пирамиды?
б) Найдите угол между плоскостью BMN и основанием пирамиды, если ребра пирамиды равны 12.
а) Обозначим T середину ребра AC, P — точку пересечения прямых MN и ST, Q — точку пересечения прямых BP и SH. Прямые BP и SH лежат в плоскости SBT. Так как отрезок MN — средняя линия треугольника SAC, то точка P — середина отрезка ST. Прямая BP лежит в плоскости BMN, следовательно, точка Q есть точка пересечения плоскости BMN с высотой SH. Запишем теорему Менелая для треугольника SOT и прямой BP, получим:
откуда
б) Заметим, что плоскости BAC и BMN содержат по одной из пары параллельных прямых AC и MN, следовательно, линия пересечения указанных плоскостей параллельна этим прямым. Прямая BT является проекцией прямой BP на плоскость АВС. При этом прямая BT перпендикулярна прямой AC, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая BP перпендикулярна прямой AC. Таким образом, каждая из прямых BP и BTперпендикулярны линии пересечения плоскостей BAC и BMN, а потому PBT — линейный угол угла между этими плоскостями. Находим:
Тогда:
где 
Таким образом,
то есть 
Ответ: