РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 639770 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 424

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $| логарифм по основанию 2 x плюс 1| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: | логарифм по основанию 2 x плюс 1| минус 2 конец дроби больше или равно 2.$

Решение. Пусть $t=| логарифм по основанию 2 x плюс 1|,$ тогда

$t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус 1 минус 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно t меньше 2,t больше или равно 3. конец совокупности .$ $t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус 1 минус 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно t меньше 2,t больше или равно 3. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной, находим:

$совокупность выражений 1 \leqslant| логарифм по основанию 2 x плюс 1| меньше 2,| логарифм по основанию 2 x плюс 1| больше или равно 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше логарифм по основанию 2 x плюс 1 меньше или равно минус 1,1 меньше или равно логарифм по основанию 2 x плюс 1 меньше 2, логарифм по основанию 2 x плюс 1 меньше или равно минус 3, логарифм по основанию 2 x плюс 1 больше или равно 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше или равно минус 2,0 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше 1, логарифм по основанию 2 x меньше или равно минус 4, логарифм по основанию 2 x больше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше x меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка ,2 в степени 0 меньше или равно x меньше 2 в степени 1 ,0 меньше x меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка ,x больше или равно 2 в квадрате конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,1 меньше или равно x меньше 2,0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 ,x больше или равно 4. конец совокупности .$ $совокупность выражений 1 \leqslant| логарифм по основанию 2 x плюс 1| меньше 2,| логарифм по основанию 2 x плюс 1| больше или равно 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше логарифм по основанию 2 x плюс 1 меньше или равно минус 1,1 меньше или равно логарифм по основанию 2 x плюс 1 меньше 2, логарифм по основанию 2 x плюс 1 меньше или равно минус 3, логарифм по основанию 2 x плюс 1 больше или равно 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше или равно минус 2,0 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше 1, логарифм по основанию 2 x меньше или равно минус 4, логарифм по основанию 2 x больше или равно 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше x меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка ,2 в степени 0 меньше или равно x меньше 2 в степени 1 ,0 меньше x меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка ,x больше или равно 2 в квадрате конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,1 меньше или равно x меньше 2,0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 ,x больше или равно 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

639770

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 424

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639770	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$