PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
будет выполнено для любых x, не превосходящих по модулю 1.
Решение. Решим задачу методом областей. Построим в системе координат aOx множество точек, для которых дробь, стоящая в левой части неравенства, обращается в нуль или не определена. Полученные линии разделят координатную плоскость на области постоянного знака дроби. Взяв пробные точки, выявим те области, в которых дробь положительна.
Рассмотрим числитель:
Графиком уравнения 
является вертикальная ось. Графиком уравнения 
прямая, проходящая через точки 
и 
Рассмотрим знаменатель:
При 
полученное уравнение не имеет решений, при 
оно равносильно уравнению
Функция 
нечётная, ее производная 
положительна при всех 
а потому функция возрастает на 
и на 
График имеет асимптоты и 
Линии 
и 
(выделены оранжевым пунктиром) разбивают плоскость на восемь областей, в каждой из которых знак левой части исходного неравенства остается неизменным. Подставляя координаты какой-либо точки из каждой области, проверяем выполнение исходного неравенства. Области, в которых неравенство выполняется, выделены на рисунке светло-зеленым цветом.
Отметим на графике прямые 
и 
(выделены синим). Значения x, которые не превосходят по модулю 1, находятся внутри полосы, ограниченной этими прямыми, включая сами прямые. Тогда исходное неравенство выполняется для любых x, не превосходящих по модулю 1, при 
и 
где a1 — меньший корень уравнения 
а a2 — корень уравнения 
Ясно, что 
Найдём a1:
Значит, 
Таким образом, исходное неравенство выполняется для любых x, не превосходящих по модулю 1, при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |