Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
будет выполнено для любых x, не превосходящих по модулю 1.
Решим задачу методом областей. Построим в системе координат aOx множество точек, для которых дробь, стоящая в левой части неравенства, обращается в нуль или не определена. Полученные линии разделят координатную плоскость на области постоянного знака дроби. Взяв пробные точки, выявим те области, в которых дробь положительна.
Рассмотрим числитель:
Графиком уравнения 
является вертикальная ось. Графиком уравнения 
прямая, проходящая через точки 
и 
Рассмотрим знаменатель:
При 
полученное уравнение не имеет решений, при 
оно равносильно уравнению
Функция 
нечётная, ее производная 
положительна при всех 
а потому функция возрастает на 
и на 
График имеет асимптоты и 
Линии 
и 
(выделены оранжевым пунктиром) разбивают плоскость на восемь областей, в каждой из которых знак левой части исходного неравенства остается неизменным. Подставляя координаты какой-либо точки из каждой области, проверяем выполнение исходного неравенства. Области, в которых неравенство выполняется, выделены на рисунке светло-зеленым цветом.
Отметим на графике прямые 
и 
(выделены синим). Значения x, которые не превосходят по модулю 1, находятся внутри полосы, ограниченной этими прямыми, включая сами прямые. Тогда исходное неравенство выполняется для любых x, не превосходящих по модулю 1, при 
и 
где a1 — меньший корень уравнения 
а a2 — корень уравнения 
Ясно, что 
Найдём a1:
Значит, 
Таким образом, исходное неравенство выполняется для любых x, не превосходящих по модулю 1, при 
и 
Ответ: 