РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 640017 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 425

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники

Биссектриса AD большего угла треугольника ABC со сторонами 24, 40 и 56 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.

а)  Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10.

б)  Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с биссектрисой AD.

Решение. а)  Пусть AB  =  24, AC  =  40 и BC  =  56. По свойству биссектрисы

$дробь: числитель: BD, знаменатель: DC конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Следовательно, BD  =  21 и DC  =  35. По теореме косинусов

$косинус \angle B= дробь: числитель: 24 в квадрате плюс 56 в квадрате минус 40 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 24 умножить на 56 конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 14 конец дроби ,$

откуда

$AD в квадрате = AB в квадрате плюс BD в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на BD умножить на косинус \angle B = 24 в квадрате плюс 21 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 21 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 14 конец дроби = 576 плюс 441 минус 792 = 225,$ $AD в квадрате = AB в квадрате плюс BD в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на BD умножить на косинус \angle B =$
$= 24 в квадрате плюс 21 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 21 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 14 конец дроби = 576 плюс 441 минус 792 = 225,$ $AD в квадрате = AB в квадрате плюс BD в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на BD умножить на косинус \angle B =$
$= 24 в квадрате плюс 21 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 21 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 14 конец дроби =$
$= 576 плюс 441 минус 792 = 225,$

то есть AD  =  15.

По формуле $S = p умножить на r$ получаем, что

$дробь: числитель: r_1, знаменатель: r_2 конец дроби = дробь: числитель: S_ABD, знаменатель: S_ADC конец дроби умножить на дробь: числитель: P_ADC, знаменатель: P_ABD конец дроби = дробь: числитель: BD, знаменатель: DC конец дроби умножить на дробь: числитель: P_ADC, знаменатель: P_ABD конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 45, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 10 конец дроби .$

б)  Пусть первая окружность касается AD в точке P, а вторая  — в точке Q. Тогда

$AP = p левая круглая скобка ABD правая круглая скобка минус BD = 30 минус 21 = 9,$

$AQ = p левая круглая скобка ADC правая круглая скобка минус DC=45 минус 35 = 10.$

Итого: $PQ = |AP минус AQ| = 1.$

Ответ: 1.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 1.

640017

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 425

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640017	1.