Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 640017
i

Бис­сек­три­са AD боль­ше­го угла тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­на­ми 24, 40 и 56 делит его на два тре­уголь­ни­ка, в каж­дый из них впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как 9 : 10.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния этих окруж­но­стей с бис­сек­три­сой AD.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB  =  24, AC  =  40 и BC  =  56. По свой­ству бис­сек­три­сы

дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: DC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 40 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, BD  =  21 и DC  =  35. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

ко­си­нус \angle B= дробь: чис­ли­тель: 24 в квад­ра­те плюс 56 в квад­ра­те минус 40 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 24 умно­жить на 56 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби ,

от­ку­да

AD в квад­ра­те = AB в квад­ра­те плюс BD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на AB умно­жить на BD умно­жить на ко­си­нус \angle B = 24 в квад­ра­те плюс 21 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 24 умно­жить на 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби = 576 плюс 441 минус 792 = 225,

то есть AD  =  15.

По фор­му­ле S = p умно­жить на r по­лу­ча­ем, что

дробь: чис­ли­тель: r_1, зна­ме­на­тель: r_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_ABD, зна­ме­на­тель: S_ADC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: P_ADC, зна­ме­на­тель: P_ABD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: DC конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: P_ADC, зна­ме­на­тель: P_ABD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

б)  Пусть пер­вая окруж­ность ка­са­ет­ся AD в точке P, а вто­рая  — в точке Q. Тогда

AP = p левая круг­лая скоб­ка ABD пра­вая круг­лая скоб­ка минус BD = 30 минус 21 = 9,

AQ = p левая круг­лая скоб­ка ADC пра­вая круг­лая скоб­ка минус DC=45 минус 35 = 10.

Итого: PQ = |AP минус AQ| = 1.

 

Ответ: 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 425
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025