РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске в первой строке написано два натуральных числа n и n + 1, а во второй строке по одному разу записаны те и только те натуральные числа, которые являются делителями одного из чисел первой строки. Например, если в первой строке написаны числа 3 и 4, то во второй строке написаны числа 1, 2, 3 и 4.

а)  Может ли во второй строке быть написано ровно 6 чисел?

б)  Может ли во второй строке быть написано ровно 4 числа, если $n больше 4?$

в)  Сколько существует таких чисел $n меньше 2000,$ для которых во второй строке написано чётное количество чисел?

Решение. а)  Да, для чисел 25 и 26 в первой строке будут написаны числа 1, 2, 5, 13, 25, 26 во второй строке.

б)  Ясно, что числа 1, n, n + 1 будут написаны. Значит, кроме них должно быть еще ровно одно число. Если число простое, то у него два делителя. Если составное и при этом не точный квадрат, то число запишется в виде ab и даст еще два делителя a и b. Если же число точный квадрат, но не простого числа, то его тоже можно будет записать как произведение различных чисел. Поэтому одно из чисел n и n + 1 простое, а другое  — квадрат простого. Но при $n больше 4$ квадраты простых чисел будут нечетны, а два нечетных числа не могут идти подряд.

в)  Заметим, что только единица может быть общим делителем чисел n и n + 1. Это следует из того, что их разность делится на любой их общий делитель, но равна 1. Поэтому если эти числа имеют a и b делителей соответственно, на доску будет выписано $a плюс b минус 1$ число. Значит, a и b должны иметь разную четность.

Все делители числа можно разбить на пары, дающие в произведении само число, поэтому обычно их количество четно. Исключение составляют ситуации, когда один из делителей  — пара к самому себе (а число, следовательно, его квадрат) и в такой ситуации число делителей нечетно.

Итак, подходят только те пары, где одно из чисел n и n + 1  — точный квадрат. Поскольку

$44 в квадрате = 1936 меньше 1998 меньше 2000 меньше 2025 = 45 в квадрате ,$

есть 44 пары, в которых число  n является точным квадратом, и 43 пары, в которых число n + 1  — точный квадрат, $n плюс 1 не равно 1.$ Кроме того, квадраты не могут отличаться на 1, поскольку даже между соседними квадратами разность минимум $2 в квадрате минус 1 в квадрате = 3.$ Поэтому все эти пары действительно подходят.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  87.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	641611	а)  да; б)  нет; в)  87.

Ключ