PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
В системе координат xOy графиком полученной системы (выделено оранжевым) является объединение двух отрезков и нижней полуокружности радиуса 3 с центром в точке 
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых 
Количество решений исходной системы равно количеству точек пересечения построенных графиков. Поэтому исходная система:
— при 
не имеет решений;
— при 
имеет одно решение;
— при 
два решения;
— при 
три решения;
— при 
два решения;
— при 
три решения;
— при 
два решения;
— при 
одно решение;
— при 
не имеет решений.
Найдём соответствующие значения параметра. При прямая проходит через точку 
тогда:
При 
прямая проходит через точку 
тогда
При прямая проходит через точки 
и 
тогда
При прямая касается дуги окружности в точке 
тогда
Таким образом, исходная система имеет ровно два различных решения при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |