а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В тет­ра­эд­ре ABCD про­ти­во­по­лож­ные ребра по­пар­но равны. Точки M, N и K  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер BD, AC и DC со­от­вет­ствен­но. Через точку К про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость α, па­рал­лель­ная реб­рам BD и AC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на се­ку­щей плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти α, если и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Кли­ент от­крыл в банке де­по­зит­ный вклад сро­ком на 1 год под p₁ про­цен­тов го­до­вых. По окон­ча­нии срока дей­ствия вкла­да и на­чис­ле­ния про­цен­тов он до­ба­вил к вы­дан­ной сумме денег до­пол­ни­тель­но сумму, со­став­ля­ю­щую 3% от вне­сен­ной год назад при от­кры­тии вкла­да, и пе­ре­офор­мил вклад еще на год под p₂ про­цен­тов го­до­вых. Из­вест­но, что При каком зна­че­нии p₂ через год при за­кры­тии вкла­да и на­чис­ле­нии про­цен­тов кли­ент по­лу­чит мак­си­маль­ную сумму денег?

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C ост­рый, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая АН пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AC, если CB  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка CAD равна 12.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Пусть n  — трех­знач­ное число, за­пи­сан­ное в виде где a, b, c  — цифры и   — сумма квад­ра­тов цифр этого числа, а   — сумма всех по­пар­ных про­из­ве­де­ний его цифр.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние от­но­ше­ния