Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 645375
i

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C ост­рый, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая АН пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AC, если CB  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка CAD равна 12.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angle BAH = 90 гра­ду­сов минус \angle ABH = 45 гра­ду­сов . Тогда \angle BAD = \angle BCD как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. По­это­му \angle ABC = \angle BCD = 45 гра­ду­сов, сле­до­ва­тель­но, пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны.

б)  Тре­уголь­ник BAH рав­но­бед­рен­ный. Пусть CH = x. Тогда BH = AH = 8 минус x и DH  =  CH, по­сколь­ку тре­уголь­ник CHD тоже рав­но­бед­рен­ный. На­хо­дим:

S_CAD = дробь: чис­ли­тель: AD умно­жить на CH, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 умно­жить на x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 12,

от­ку­да x  =  3. Тогда

AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AH в квад­ра­те плюс CH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 433
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025