ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 645377 Добавить в вариант

Пусть n  — трехзначное число, записанное в виде $n = 100 a плюс 10 b плюс c,$ где a, b, c  — цифры и $a не равно q 0,$ $f левая круглая скобка n правая круглая скобка = a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате$   — сумма квадратов цифр этого числа, а $g левая круглая скобка n правая круглая скобка = a b плюс b c плюс a c$   — сумма всех попарных произведений его цифр.

а)  Существует ли такое n, что $дробь: числитель: g левая круглая скобка n правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка n правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ?$

б)  Существует ли такое n, что $дробь: числитель: g левая круглая скобка n правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка n правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ?$

в)  Найдите наибольшее возможное значение отношения $дробь: числитель: g левая круглая скобка n правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка n правая круглая скобка конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например, для числа 110 получаем: $f левая круглая скобка 110 правая круглая скобка = 2,$ $g левая круглая скобка 110 правая круглая скобка = 1,$ и условие выполнено.

б)  Уравнение можно записать в виде

$3 левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате правая круглая скобка = 2 левая круглая скобка ab плюс bc плюс ac правая круглая скобка ,$

то есть

$a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате плюс левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус c правая круглая скобка в квадрате = 0,$

откуда $a = b = c = 0,$ что невозможно.

в)  Для числа 111 получаем: $f левая круглая скобка n правая круглая скобка =g левая круглая скобка n правая круглая скобка =3;$ тогда отношение равно 1. Докажем, что $f левая круглая скобка n правая круглая скобка больше или равно g левая круглая скобка n правая круглая скобка .$ В самом деле,

$f левая круглая скобка n правая круглая скобка минус g левая круглая скобка n правая круглая скобка = a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус ab минус bc минус ac = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка c минус a правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0.$ $f левая круглая скобка n правая круглая скобка минус g левая круглая скобка n правая круглая скобка = a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус ab минус bc минус ac =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка c минус a правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0.$

Значит, сделать это отношение больше единицы нельзя.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 433

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь