Ре­ше­ние. а)  Со­еди­ним точки M и B₁. Через точку M в плос­ко­сти AA₁C₁ про­ве­дем пря­мую па­рал­лель­ную пря­мой AC₁. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с пря­мой A₁C₁. Точка K лежит в плос­ко­сти α. Про­ве­дем пря­мую KB₁, она пе­ре­се­чет ребро A₁D₁ в точке N. Со­еди­ним точки M и N, тогда MNB₁  — се­че­ние куба плос­ко­стью α. За­ме­тим, что пря­мые MK и AC₁, а также пря­мые A₁D₁ и B₁C₁ па­рал­лель­ны. Из этого сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки A₁KM и A₁C₁A, а также тре­уголь­ни­ки A₁KN и С₁KB₁ по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

сле­до­ва­тель­но, D₁N : NA₁  =  1 : 2.

б)  Плос­кость α от­се­ка­ет от куба тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду A₁MNB₁ со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми реб­ра­ми: A₁M  =  2, A₁B₁ = 5. Най­дем ее объем:

Тогда объем остав­шей­ся части куба равен

Ответ: б)