В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре AA1 отмечена точка M так, что AM = 3. Через точки M и B1 проведена плоскость α, параллельная AC1.
а) Докажите, что 
если N — точка пересечения плоскости α с ребром A1D1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Соединим точки M и B1. Через точку M в плоскости AA1C1 проведем прямую параллельную прямой AC1. Пусть K — точка пересечения этой прямой с прямой A1C1. Точка K лежит в плоскости α. Проведем прямую KB1, она пересечет ребро A1D1 в точке N. Соединим точки M и N, тогда MNB1 — сечение куба плоскостью α. Заметим, что прямые MK и AC1, а также прямые A1D1 и B1C1 параллельны. Из этого следует, что треугольники A1KM и A1C1A, а также треугольники A1KN и С1KB1 подобны. Таким образом,
следовательно, D1N : NA1 = 1 : 2.
б) Плоскость α отсекает от куба треугольную пирамиду A1MNB1 со взаимно перпендикулярными ребрами: A1M = 2, 
A1B1 = 5. Найдем ее объем:
Тогда объем оставшейся части куба равен
Ответ: б) 