а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что AM  =  3. Через точки M и B₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная AC₁.

а)  До­ка­жи­те, что если N  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром A₁D₁.

б)  Най­ди­те объем боль­шей из двух ча­стей куба, на ко­то­рые он де­лит­ся плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Сер­гей вла­де­ет двумя це­ха­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми в раз­ных рай­о­нах го­ро­да. В цехах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вая про­дук­ция, но в пер­вом цехе ис­поль­зу­ет­ся более со­вре­мен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те если ра­бо­чие вто­ро­го цеха тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за это время они про­из­во­дят 2t еди­ниц про­дук­ции. Если же ра­бо­чие пер­во­го цеха тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за это время они про­из­во­дят 4t еди­ниц про­дук­ции. В обоих цехах за каж­дый час ра­бо­ты ра­бо­че­му пла­тят 450 руб­лей. Сер­гей готов пла­тить ра­бо­чим 1 640 250 руб­лей в не­де­лю. На какое мак­си­маль­ное число еди­ниц про­дук­ции он может рас­счи­ты­вать?

Окруж­но­сти ω₁ и ω₂ ра­ди­у­сов 4 и 1 со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке А. Через точку В, ле­жа­щую на окруж­но­сти ω₁, про­ве­де­на пря­мая, ка­са­ю­ща­я­ся окруж­но­сти ω₂ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние от­рез­ков пря­мой АВ, от­се­ка­е­мых окруж­но­стя­ми, равно от­но­ше­нию их ра­ди­у­сов.

б)  Най­ди­те ВМ, если из­вест­но, что AB  =  2.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На­ту­раль­ное числа n имеет ровно 21 де­ли­тель, вклю­чая 1 и само число.

а)  Может ли число n де­лить­ся на 21?

б)  Может ли число 14n иметь ровно 14 де­ли­те­лей?

в)  Какое наи­мень­шее число де­ли­те­лей может иметь число 14n?