Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 646297
i

Сер­гей вла­де­ет двумя це­ха­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми в раз­ных рай­о­нах го­ро­да. В цехах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вая про­дук­ция, но в пер­вом цехе ис­поль­зу­ет­ся более со­вре­мен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те если ра­бо­чие вто­ро­го цеха тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за это время они про­из­во­дят 2t еди­ниц про­дук­ции. Если же ра­бо­чие пер­во­го цеха тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за это время они про­из­во­дят 4t еди­ниц про­дук­ции. В обоих цехах за каж­дый час ра­бо­ты ра­бо­че­му пла­тят 450 руб­лей. Сер­гей готов пла­тить ра­бо­чим 1 640 250 руб­лей в не­де­лю. На какое мак­си­маль­ное число еди­ниц про­дук­ции он может рас­счи­ты­вать?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Всего в не­де­лю Сер­гей готов опла­чи­вать дробь: чис­ли­тель: 1640250, зна­ме­на­тель: 450 конец дроби =3645 часов ра­бо­ты. Пусть в пер­вом цехе ра­бо­чие сум­мар­но будут тру­дит­ся x2 часов в не­де­лю, при этом они будут про­из­во­дить 4x еди­ниц про­дук­ции. Тогда во вто­ром цехе ра­бо­чие сум­мар­но смо­гут тру­дит­ся 3645 минус x в квад­ра­те  часов в не­де­лю, при этом они будут про­из­во­дить 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та  еди­ниц про­дук­ции. Зна­чит, всего за не­де­лю будет про­из­ве­де­но 4x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та  еди­ниц про­дук­ции.

Рас­смот­рим функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , где 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 конец ар­гу­мен­та , и найдём её наи­боль­шее зна­че­ние. Возь­мем про­из­вод­ную:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 плюс дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = 4 минус дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

При­рав­няв про­из­вод­ную к нулю, найдём ста­ци­о­нар­ные точки и ис­сле­ду­ем функ­цию на мо­но­тон­ность:

4 минус дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =x,x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 5x в квад­ра­те =4 умно­жить на 3645 рав­но­силь­но x в квад­ра­те =4 умно­жить на 729 \undersetx боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но x=2 умно­жить на 27 рав­но­силь­но x=54.

В точке x=54 функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния. Найдём его:

f левая круг­лая скоб­ка 54 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 умно­жить на 54 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3645 минус 54 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4 умно­жить на 54 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 умно­жить на 729 минус 4 умно­жить на 729 конец ар­гу­мен­та =8 умно­жить на 27 плюс 2 умно­жить на 27=270.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное число еди­ниц про­дук­ции, на ко­то­рое Сер­гей может рас­счи­ты­вать, равно 270.

 

Ответ: 270.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 437
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025