РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 646297 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 437

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Сергей владеет двумя цехами, расположенными в разных районах города. В цехах производятся абсолютно одинаковая продукция, но в первом цехе используется более современное оборудование. В результате если рабочие второго цеха трудятся суммарно t² часов в неделю, то за это время они производят 2t единиц продукции. Если же рабочие первого цеха трудятся суммарно t² часов в неделю, то за это время они производят 4t единиц продукции. В обоих цехах за каждый час работы рабочему платят 450 рублей. Сергей готов платить рабочим 1 640 250 рублей в неделю. На какое максимальное число единиц продукции он может рассчитывать?

Решение. Всего в неделю Сергей готов оплачивать $дробь: числитель: 1640250, знаменатель: 450 конец дроби =3645$ часов работы. Пусть в первом цехе рабочие суммарно будут трудится x² часов в неделю, при этом они будут производить 4x единиц продукции. Тогда во втором цехе рабочие суммарно смогут трудится $3645 минус x в квадрате$  часов в неделю, при этом они будут производить $2 корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента$  единиц продукции. Значит, всего за неделю будет произведено $4x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента$  единиц продукции.

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента ,$ где $0 меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 3645 конец аргумента ,$ и найдём её наибольшее значение. Возьмем производную:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 плюс дробь: числитель: 2 умножить на левая круглая скобка минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби = 4 минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби .$

Приравняв производную к нулю, найдём стационарные точки и исследуем функцию на монотонность:

$4 минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно система выражений 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента =x,x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно 5x в квадрате =4 умножить на 3645 равносильно x в квадрате =4 умножить на 729 \undersetx больше 0\mathop равносильно x=2 умножить на 27 равносильно x=54.$ $4 минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус x в квадрате конец аргумента =x,x не равно 0 конец системы . равносильно 5x в квадрате =4 умножить на 3645 равносильно$
$равносильно x в квадрате =4 умножить на 729 \undersetx больше 0\mathop равносильно x=2 умножить на 27 равносильно x=54.$

В точке $x=54$ функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ достигает своего наибольшего значения. Найдём его:

$f левая круглая скобка 54 правая круглая скобка =4 умножить на 54 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус 54 в квадрате конец аргумента =4 умножить на 54 плюс 2 корень из: начало аргумента: 5 умножить на 729 минус 4 умножить на 729 конец аргумента =8 умножить на 27 плюс 2 умножить на 27=270.$ $f левая круглая скобка 54 правая круглая скобка =4 умножить на 54 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус 54 в квадрате конец аргумента =$
$=4 умножить на 54 плюс 2 корень из: начало аргумента: 5 умножить на 729 минус 4 умножить на 729 конец аргумента =8 умножить на 27 плюс 2 умножить на 27=270.$ $f левая круглая скобка 54 правая круглая скобка =4 умножить на 54 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3645 минус 54 в квадрате конец аргумента =$
$=4 умножить на 54 плюс 2 корень из: начало аргумента: 5 умножить на 729 минус 4 умножить на 729 конец аргумента =$
$=8 умножить на 27 плюс 2 умножить на 27=270.$

Таким образом, максимальное число единиц продукции, на которое Сергей может рассчитывать, равно 270.

Ответ: 270.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 270.

646297

270.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 437

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	646297	270.