ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 646300 Добавить в вариант

Натуральное числа n имеет ровно 21 делитель, включая 1 и само число.

а)  Может ли число n делиться на 21?

б)  Может ли число 14n иметь ровно 14 делителей?

в)  Какое наименьшее число делителей может иметь число 14n?

Спрятать решение

Решение.

Если разложение числа на простые множители имеет вид $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_x в степени левая круглая скобка k_x правая круглая скобка ,$ оно имеет $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_x плюс 1 правая круглая скобка$ делителей.

Уравнение

$левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_x плюс 1 правая круглая скобка = 21$

превращается в тождество при $x=1,$ $k_1=20$ и при $x=2,$ $k_1=2,$ $k_2=6.$ То есть число имеет вид либо p²⁰, либо p²q⁶, где p, q  — простые.

а)  Да. Например, можно взять $n = 3 в квадрате умножить на 7 в степени 6 .$

б)  Делителями 14n, в частности, являются все делители n, поэтому их не менее 21.

в)  Число $n = 2 в квадрате умножить на 7 в степени 6$ имеет ровно 21 делитель, при этом $14n = 2 в кубе умножить на 7 в степени 7$ имеет $4 умножить на 8 = 32$ делителя.

Если взять число вида p²q⁶ или p²⁰ не кратным 2, количество делителей как минимум удвоится (можно взять все старые делители и все старые делители, умноженные на 2  — все они будут различны). Аналогично и в случае, когда это число не кратно 7. Значит, оно кратно и 2, и 7 поэтому равно 2² · 7⁶ или 7² · 2⁶. Для них ответы одинаковы.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  32.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 437

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь