PDF-версии: 
Натуральное числа n имеет ровно 21 делитель, включая 1 и само число.
а) Может ли число n делиться на 21?
б) Может ли число 14n иметь ровно 14 делителей?
в) Какое наименьшее число делителей может иметь число 14n?
Решение. Если разложение числа на простые множители имеет вид 
оно имеет 
делителей.
Уравнение
превращается в тождество при 
и при 
То есть число имеет вид либо p20, либо p2q6, где p, q — простые.
а) Да. Например, можно взять 
б) Делителями 14n, в частности, являются все делители n, поэтому их не менее 21.
в) Число 
имеет ровно 21 делитель, при этом 
имеет 
делителя.
Если взять число вида p2q6 или p20 не кратным 2, количество делителей как минимум удвоится (можно взять все старые делители и все старые делители, умноженные на 2 — все они будут различны). Аналогично и в случае, когда это число не кратно 7. Значит, оно кратно и 2, и 7 поэтому равно 22 · 76 или 72 · 26. Для них ответы одинаковы.
Ответ: а) да; б) нет; в) 32.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |