Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние яв­ля­ет­ся од­но­род­ным от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ных функ­ций и Раз­де­лим обе части урав­не­ния на По­лу­чим:

б)  На от­рез­ке дли­ной может ле­жать не боль­ше двух чле­нов серии и не боль­ше од­но­го члена серии Из пер­вой серии это числа и а из вто­рой  — число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Со­еди­ним точки M и B₁. Через точку M в плос­ко­сти AA₁C₁ про­ве­дем пря­мую па­рал­лель­ную пря­мой AC₁. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с пря­мой A₁C₁. Точка K лежит в плос­ко­сти α. Про­ве­дем пря­мую KB₁, она пе­ре­се­чет ребро A₁D₁ в точке N. Со­еди­ним точки M и N, тогда MNB₁  — се­че­ние куба плос­ко­стью α. За­ме­тим, что пря­мые MK и AC₁, а также пря­мые A₁D₁ и B₁C₁ па­рал­лель­ны. Из этого сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки A₁KM и A₁C₁A, а также тре­уголь­ни­ки A₁KN и С₁KB₁ по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

сле­до­ва­тель­но, D₁N : NA₁  =  1 : 2.

б)  Плос­кость α от­се­ка­ет от куба тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду A₁MNB₁ со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми реб­ра­ми: A₁M  =  2, A₁B₁ = 5. Най­дем ее объем:

Тогда объем остав­шей­ся части куба равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов:

Ответ:

Ре­ше­ние. Всего в не­де­лю Сер­гей готов опла­чи­вать часов ра­бо­ты. Пусть в пер­вом цехе ра­бо­чие сум­мар­но будут тру­дит­ся x² часов в не­де­лю, при этом они будут про­из­во­дить 4x еди­ниц про­дук­ции. Тогда во вто­ром цехе ра­бо­чие сум­мар­но смо­гут тру­дит­ся  часов в не­де­лю, при этом они будут про­из­во­дить  еди­ниц про­дук­ции. Зна­чит, всего за не­де­лю будет про­из­ве­де­но  еди­ниц про­дук­ции.

Рас­смот­рим функ­цию где и найдём её наи­боль­шее зна­че­ние. Возь­мем про­из­вод­ную:

При­рав­няв про­из­вод­ную к нулю, найдём ста­ци­о­нар­ные точки и ис­сле­ду­ем функ­цию на мо­но­тон­ность:

В точке функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния. Найдём его:

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное число еди­ниц про­дук­ции, на ко­то­рое Сер­гей может рас­счи­ты­вать, равно 270.

Ответ: 270.

Ре­ше­ние. а)  Пусть C  — вто­рая точка пе­ре­се­че­ния пря­мой AB и окруж­но­сти  ω₂, и пусть точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей. Тогда тре­уголь­ни­ки O₁AB и O₂AC по­доб­ны, по­сколь­ку как вер­ти­каль­ные и

Зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По тео­ре­ме о квад­ра­те ка­са­тель­ной Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

Тогда от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ме­ча­ние к пунк­ту б).

Из точки В можно про­ве­сти две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти ω₂. При­ве­ден­ные рас­суж­де­ния не за­ви­сят от по­ло­же­ния точки М на окруж­но­сти, а по­то­му со­хра­ня­ют свою силу для любой из ка­са­тель­ных.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим вы­ра­же­ния, сто­я­щие под зна­ка­ми ло­га­риф­мов, на мно­жи­те­ли:

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние при

Ответ:

Ре­ше­ние. Если раз­ло­же­ние числа на про­стые мно­жи­те­ли имеет вид оно имеет де­ли­те­лей.

Урав­не­ние

пре­вра­ща­ет­ся в тож­де­ство при и при То есть число имеет вид либо p²⁰, либо p²q⁶, где p, q  — про­стые.

а)  Да. На­при­мер, можно взять

б)  Де­ли­те­ля­ми 14n, в част­но­сти, яв­ля­ют­ся все де­ли­те­ли n, по­это­му их не менее 21.

в)  Число имеет ровно 21 де­ли­тель, при этом имеет де­ли­те­ля.

Если взять число вида p²q⁶ или p²⁰ не крат­ным 2, ко­ли­че­ство де­ли­те­лей как ми­ни­мум удво­ит­ся (можно взять все ста­рые де­ли­те­ли и все ста­рые де­ли­те­ли, умно­жен­ные на 2  — все они будут раз­лич­ны). Ана­ло­гич­но и в слу­чае, когда это число не крат­но 7. Зна­чит, оно крат­но и 2, и 7 по­это­му равно 2² · 7⁶ или 7² · 2⁶. Для них от­ве­ты оди­на­ко­вы.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  32.