РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 647807 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 441

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка 0,5 конец дроби минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка .$

Решение. Неравенство определено при $x больше 3,$ $x не равно 4.$ На области определения используем свойство логарифма:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка 0,5 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка 2 конец дроби = минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка .$

Перенесем логарифмы из правой части в левую, перейдём к логарифмам по основанию 2, разложим полученную правую часть на множители:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс =$
$= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

При $x больше 3$ верно неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0,$ а потому выражение в скобках положительно, и на него можно разделить. Далее применим метод рационализации:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 \underset x больше 3 \mathop равносильно левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус 16 меньше или равно 0 равносильно минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \underset x больше 3, x не равно 4 \mathop равносильно 3 меньше x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 \underset x больше 3 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 0 равносильно x в квадрате плюс 2x минус 16 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \underset x больше 3, x не равно 4 \mathop равносильно 3 меньше x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 \underset x больше 3 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 0 равносильно x в квадрате плюс 2x минус 16 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \underset x больше 3, x не равно 4 \mathop равносильно 3 меньше x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 меньше или равно 0 \underset x больше 3 \mathop равносильно левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус 16 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \underset x больше 3, x не равно 4 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 3 меньше x меньше или равно минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$

Ответ: $левая круглая скобка 3; минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

647807

$левая круглая скобка 3; минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 441

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	647807	$левая круглая скобка 3; минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента правая квадратная скобка .$