а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой AB  =  AC  =  SB  =  SC  =  17 и BC  =  SA  =  16. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер ВС и SA.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок MN яв­ля­ет­ся общим пер­пен­ди­ку­ля­ром к пря­мым BC и SA.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В на­ча­ле ме­ся­ца Ва­си­лий взял в банке кре­дит 2,4 млн руб. с ме­сяч­ной про­цент­ной став­кой 5% на 12 ме­ся­цев с по­га­ше­ни­ем кре­ди­та по сле­ду­ю­щей схеме:

  —  в на­ча­ле каж­до­го ме­ся­ца банк уве­ли­чи­ва­ет долг на 5%;

  —  вы­пла­ты про­из­во­дят­ся в конце каж­до­го ме­ся­ца;

  —  каж­дая сле­ду­ю­щая вы­пла­та на 5% боль­ше преды­ду­щей.

Сколь­ко тысяч руб­лей долж­на со­став­лять пер­вая вы­пла­та, чтобы Ва­си­лий по­га­сил свой кре­дит по ука­зан­ной схеме за 12 ме­ся­цев?

Окруж­ность с цен­тром O₁ ра­ди­у­сом 9 впи­са­на в тре­уголь­ник АBC. Ее внеш­ним об­ра­зом ка­са­ют­ся окруж­ность с цен­тром O₂ ра­ди­у­сом впи­сан­ная в угол A, и окруж­ность с цен­тром O₃ ра­ди­у­сом 1, впи­сан­ная в угол С.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AO₁O₃.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ный ко­рень.

При про­ве­де­нии школь­ной ма­те­ма­ти­че­ской олим­пи­а­ды ито­го­вая сумма бал­лов со­став­ля­ет­ся из двух бал­лов за уча­стие, 13 бал­лов за каж­дую взя­тую и ре­шен­ную за­да­чу и −8 бал­лов за каж­дую взя­тую и не­ре­шен­ную за­да­чу. Каж­дую за­да­чу участ­ник вы­би­ра­ет себе са­мо­сто­я­тель­но в за­пе­ча­тан­ном кон­вер­те. Число задач, пред­ла­га­е­мых для ре­ше­ния, не­огра­ни­чен­но.

а)  У од­но­го из участ­ни­ков, ре­шив­ше­го p задач и не ре­шив­ше­го q задач, ито­го­вая сумма ока­за­лась рав­ной u бал­лов. Най­ди­те ито­го­вую сумму участ­ни­ка, ре­шив­ше­го 2p задач и не ре­шив­ше­го 2q задач.

б)  Из­вест­но, что ито­го­вая сумма у двух участ­ни­ков ока­за­лась оди­на­ко­вой. Может ли раз­ность между чис­лом всех задач, взя­тых для ре­ше­ния одним участ­ни­ком, и чис­лом задач, взя­тых для ре­ше­ния дру­гим участ­ни­ком, де­лить­ся на 21?

в)  Какое ми­ни­маль­ное число задач надо взять, чтобы ито­го­вая сумма ока­за­лась рав­ной нулю?