Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 647805
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 2 x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка синус 2 x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 5 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вы­де­лим в левой части урав­не­ния пол­ные квад­ра­ты:

 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 2 x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка синус 2 x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =
= левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 2 x плюс 2 синус 2 x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 ко­си­нус x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка синус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Сумма не­от­ри­ца­тель­ных вы­ра­же­ний равна нулю тогда и толь­ко тогда, когда каж­дое из них равно нулю, по­это­му ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус 2x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2, ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 синус x ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2, ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  При k мень­ше или равно 0 члены серии не боль­ше  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , а по­то­му все они лежат левее от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 5 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Зна­че­нию k = 1 со­от­вет­ству­ет член  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи }6 плюс 2 Пи = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , он лежит в от­рез­ке. Зна­че­нию k = 2 со­от­вет­ству­ет член  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи }6 плюс 4 Пи = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 9 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , он лежит в от­рез­ке. При k боль­ше или равно 3 члены серии не мень­ше  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 6 Пи , а по­то­му они лежат пра­вее от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 5 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Таким об­ра­зом, на за­дан­ном от­рез­ке лежат два корня урав­не­ния:  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)   дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 441
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та