Дана пирамида SABC, в которой AB = AC = SB = SC = 17 и BC = SA = 16. Точки М и N — середины ребер ВС и SA.
а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA.
б) Найдите объем пирамиды ABMN.
а) Заметим, что отрезки SM и AM — медианы, а следовательно, и высоты равных равнобедренных треугольников SBC и ABC. Таким образом, SM = AM, а треугольник MSA равнобедренный. Медиана MN в нем является также и высотой, следовательно, отрезок MN перпендикулярен ребру SA. Аналогично отрезки BN и CN — равные медианы и высоты в равных треугольниках BSA и CSA, то есть отрезок MN — медиана и высота равнобедренного треугольника NBC, следовательно, отрезок MN перпендикулярен стороне BC.
б) В п. а) доказано, что отрезок MN перпендикулярен ребру SA, следовательно, треугольник NAM прямоугольный. Кроме того, прямая BC перпендикулярна прямым MN и AM, а следовательно, сторона BC перпендикулярна плоскости NAM, значит, можно рассматривать отрезок BM как высоту, а треугольник NAN — как основание пирамиды ABMN. Находим:
Таким образом, площадь основания равна
откуда находим объем пирамиды ABMN:
Ответ: б) 