При проведении школьной математической олимпиады итоговая сумма баллов составляется из двух баллов за участие, 13 баллов за каждую взятую и решенную задачу и −8 баллов за каждую взятую и нерешенную задачу. Каждую задачу участник выбирает себе самостоятельно в запечатанном конверте. Число задач, предлагаемых для решения, неограниченно.
а) У одного из участников, решившего p задач и не решившего q задач, итоговая сумма оказалась равной u баллов. Найдите итоговую сумму участника, решившего 2p задач и не решившего 2q задач.
б) Известно, что итоговая сумма у двух участников оказалась одинаковой. Может ли разность между числом всех задач, взятых для решения одним участником, и числом задач, взятых для решения другим участником, делиться на 21?
в) Какое минимальное число задач надо взять, чтобы итоговая сумма оказалась равной нулю?
а) Участник получил 13p баллов за решенные задачи и −8q за нерешенные, итого 
откуда
б) Да. Пусть первый участник решил 9 задач и не решил 13, тогда он получил 
баллов, как и участник, который взял одну задачу и решил ее. При этом 
что делится
в) Пусть участник решил p задач и не решил q задач, тогда по условию 
откуда 
Значит, 2 + 13p кратно 8, а потому число p — четное. Чем больше p, тем больше q, поэтому для наименьшего числа задач следует выбирать наименьшее возможное p.
При p = 0 получаем: 8q = 2.
При p = 2 получаем: 8q = 28.
При p = 4 получаем: 8q = 54.
При p = 6 получаем: 8q = 80. В этом случае впервые удается подобрать целое число q = 10. Следовательно, участник решил 6 задач и не решил 10, а всего их было 16.
Ответ: а) 2u – 2; б) да; в) 16.