ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 647808 Добавить в вариант

В начале месяца Василий взял в банке кредит 2,4 млн руб. с месячной процентной ставкой 5% на 12 месяцев с погашением кредита по следующей схеме:

  —  в начале каждого месяца банк увеличивает долг на 5%;

  —  выплаты производятся в конце каждого месяца;

  —  каждая следующая выплата на 5% больше предыдущей.

Сколько тысяч рублей должна составлять первая выплата, чтобы Василий погасил свой кредит по указанной схеме за 12 месяцев?

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма кредита S  =  2,4 млн руб., k  =  1,05, а выплата в первый месяц равна x млн руб. Заполним таблицу.

Номер месяца	Долг на начала месяца, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг на конец месяца, млн руб.
1	kS	x	$kS минус x$
2	$k в квадрате S минус kx$	kx	$k в квадрате S минус 2kx$
3	$k в кубе S минус 2k в квадрате x$	$k в квадрате x$	$k в кубе S минус 3k в квадрате x$
...	...	...	...
12	$k в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка S минус 11k в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка x$	$k в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка x$	$k в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка S минус 12k в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка x$

Долг на конец двенадцатого месяца должен быть равен нулю, откуда:

$k в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка S минус 12k в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка x=0 равносильно k в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка kS минус 12x правая круглая скобка =0 равносильно kS минус 12x=0 равносильно x= дробь: числитель: kS, знаменатель: 12 конец дроби$

Таким образом, первая выплата равна

$дробь: числитель: 1,05 умножить на 2,4, знаменатель: 12 конец дроби =0,210$  млн руб.

Ответ: 210 тыс. руб.

Примечание:

Задача не очень реалистична. При строгом соблюдении условия задачи, начиная с пятого месяца, выплаты будут составлять нецелое число копеек. Например, последняя выплата должна быть равна 359 171 руб. 26,52 коп.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 441

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь