РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 648419 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 443

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Формулы понижения степени, Выделение полного квадрата

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 4 косинус в квадрате x плюс 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 4 синус в квадрате x плюс 8 конец аргумента = 6.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используем формулу понижения порядка $косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка ,$ получаем:

$корень из: начало аргумента: 4 косинус в квадрате x плюс 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 4 синус в квадрате x плюс 8 конец аргумента = 6 равносильно корень из: начало аргумента: 2 косинус 2x плюс 8 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 10 минус 2 косинус 2x конец аргумента =6.$ $корень из: начало аргумента: 4 косинус в квадрате x плюс 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 4 синус в квадрате x плюс 8 конец аргумента = 6 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 косинус 2x плюс 8 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 10 минус 2 косинус 2x конец аргумента =6.$

Сделаем замену переменной $t=2 косинус 2x,$ решим полученное уравнение

$корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 6 равносильно t плюс 8 плюс 10 минус t плюс 2 корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 36 равносильно корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 9\underset минус 2 меньше или равно t меньше или равно 2 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно минус t в квадрате плюс 2t плюс 80 = 81 равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно t = 1.$ $корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 6 равносильно t плюс 8 плюс 10 минус t плюс 2 корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 36 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 9\underset минус 2 меньше или равно t меньше или равно 2 \mathop равносильно минус t в квадрате плюс 2t плюс 80 = 81 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно t = 1.$ $корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 6 равносильно$
$равносильно t плюс 8 плюс 10 минус t плюс 2 корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 36 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: t плюс 8 конец аргумента корень из: начало аргумента: 10 минус t конец аргумента = 9\underset минус 2 меньше или равно t меньше или равно 2 \mathop равносильно минус t в квадрате плюс 2t плюс 80 = 81 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно t = 1.$

Таким образом,

$2 косинус 2x = 1 равносильно косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности. Получаем: $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

648419

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 443

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Формулы понижения степени, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	648419	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$