Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 648419
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 синус в квад­ра­те x плюс 8 конец ар­гу­мен­та = 6.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лу по­ни­же­ния по­ряд­ка ко­си­нус в квад­ра­те x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 синус в квад­ра­те x плюс 8 конец ар­гу­мен­та = 6 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­си­нус 2x плюс 8 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус 2 ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та =6.

Сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ной t=2 ко­си­нус 2x, решим по­лу­чен­ное урав­не­ние

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 8 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус t конец ар­гу­мен­та = 6 рав­но­силь­но t плюс 8 плюс 10 минус t плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 8 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус t конец ар­гу­мен­та = 36 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t плюс 8 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус t конец ар­гу­мен­та = 9\underset минус 2 мень­ше или равно t мень­ше или равно 2 \mathop рав­но­силь­но
\mathop рав­но­силь­но минус t в квад­ра­те плюс 2t плюс 80 = 81 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 2t плюс 1 = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но t = 1.

Таким об­ра­зом,

2 ко­си­нус 2x = 1 рав­но­силь­но ко­си­нус 2x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­ча­ем: минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 443
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни, Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025