РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 648421 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 443

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 1.$

Решение. Выражение $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка$ положительно при всех допустимых значениях x, так как неотрицательные слагаемые не равны нулю одновременно. Следовательно, обе части неравенства можно умножить на это выражение, не меняя знака неравенства. Получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка больше логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2x минус 5 минус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0, 2x минус 5 больше 0, x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка больше 0 , x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3 , x больше 3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка больше логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2x минус 5 минус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0, 2x минус 5 больше 0, x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка больше 0 , x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3 , x больше 3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка больше логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2x минус 5 минус x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0, 2x минус 5 больше 0, x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка больше 0 , x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3 , x больше 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

648421

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 443

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	648421	$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$