PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро равно 9, а высота пирамиды SO равна 
точки М и Т — середины отрезков BC и SM соответственно.
а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведенная к грани SBC.
б) Найдите расстояние между прямыми АT и SB.
Решение. а) Прямая AT лежит в плоскости SAM. Обозначим K проекцию
Треугольники SOM и TKM подобны. Следовательно,
Заметим, что
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник TSA — прямоугольный. Следовательно, прямые AT и SM перпендикулярны. Значит, прямая AT перпендикулярна плоскости SBC и является высотой пирамиды.
б) Из точки T на прямую SB опустим перпендикуляр TH. Заметим, что TH перпендикулярен прямой AT, поскольку лежит в плоскости SBC. Таким образом, TH — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 
а так как 
то
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |