В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро равно 9, а высота пирамиды SO равна 
точки М и Т — середины отрезков BC и SM соответственно.
а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведенная к грани SBC.
б) Найдите расстояние между прямыми АT и SB.
а) Прямая AT лежит в плоскости SAM. Обозначим K проекцию
Треугольники SOM и TKM подобны. Следовательно,
Заметим, что
Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник TSA — прямоугольный. Следовательно, прямые AT и SM перпендикулярны. Значит, прямая AT перпендикулярна плоскости SBC и является высотой пирамиды.
б) Из точки T на прямую SB опустим перпендикуляр TH. Заметим, что TH перпендикулярен прямой AT, поскольку лежит в плоскости SBC. Таким образом, TH — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 
а так как 
то
Ответ: б) 