а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния равна а вы­со­та SO пи­ра­ми­ды равна 8. Через точку A па­рал­лель­но BD про­ве­де­на плос­кость α, а через точки В и D па­рал­лель­ная ей плос­кость β так, что се­че­ния пи­ра­ми­ды этими плос­ко­стя­ми имеют рав­ные пло­ща­ди.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти α и β раз­би­ва­ют ребро SC на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми α и β.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро равно 9, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SO равна точки М и Т  — се­ре­ди­ны от­рез­ков BC и SM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что АТ  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная к грани SBC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми АT и SB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на де­сять лет в раз­ме­ре 1300 тыс. руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо опла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг дол­жен быть на какую-то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  —  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  —  к июлю 2035 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та равна 2580 тыс. руб­лей. Най­ди­те ве­ли­чи­ну долга (в тыс. руб.) в конце июля 2032 года.

Про­из­вод­ство не­ко­то­ро­го то­ва­ра об­ла­га­лось на­ло­гом в раз­ме­ре t₀ руб­лей за еди­ни­цу то­ва­ра. После того как го­су­дар­ство, стре­мясь уве­ли­чить сумму на­ло­го­вых по­ступ­ле­ний, уве­ли­чи­ло налог в два с по­ло­ви­ной раза (до сумма на­ло­го­вых по­ступ­ле­ний не из­ме­ни­лась. На сколь­ко про­цен­тов го­су­дар­ству сле­ду­ет из­ме­нить налог после этого, чтобы до­бить­ся мак­си­маль­ных на­ло­го­вых сбо­ров, если из­вест­но, что при на­ло­ге, рав­ном t руб­лей за еди­ни­цу то­ва­ра, объём про­из­вод­ства то­ва­ра со­став­ля­ет 9000 – 2t еди­ниц, если это число по­ло­жи­тель­но, и 0 еди­ниц иначе?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ты AA₁, BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Н. Через точку C₁ па­рал­лель­но вы­со­те BB₁ про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая вы­со­ту АА₁ в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков С₁HK и ABC, если и

Окруж­ность с цен­тром в точке С ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы АВ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет его ка­те­ты AC и BC в точ­ках E и F. Точка D  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны С. Точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ВСD и АСD.

а)  До­ка­жи­те, что точки O₁ и O₂ лежат на от­рез­ке EF.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до пря­мой O₁O₂, если и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, если

Вла­де­ли­ца су­пер­мар­ке­та «Но­во­год­нее сча­стье от Алев­ти­ны» ор­га­ни­зо­ва­ла рас­про­да­жу но­во­год­них су­ве­ни­ров. В те­че­ние дня по­ку­па­те­ли при­хо­ди­ли к кас­си­ру, чтобы рас­пла­тить­ся (сумма лю­бо­го пла­те­жа  — чет­ное число руб­лей). Каж­дый про­тя­ги­вал ку­пю­ру 5000 руб­лей, а кас­сир вы­да­вал сдачу, имея толь­ко 300 монет по 10 руб­лей и 500 монет по 2 рубля. По ито­гам дня все мо­не­ты ока­за­лись по­тра­чен­ны­ми на сдачи.

а)  Могло ли за день быть 250 по­ку­па­те­лей, если все они по­лу­чи­ли рав­ную сдачу?

б)  Каким могло быть наи­боль­шее число по­ку­па­те­лей, если каж­дый по­лу­чил оди­на­ко­вую сдачу?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го числа по­ку­па­те­лей кас­сир мог вы­дать на сдачу все мо­не­ты при любом рас­пре­де­ле­нии сдач, не про­ти­во­ре­ча­щим усло­вию?

Трёхзнач­ное число А имеет k на­ту­раль­ных де­ли­те­лей (в том числе 1 и А).

а)  Может ли k быть равно 7?

б)  Может ли k быть равно 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние k.