В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Н. Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту АА1 в точке К.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение площадей треугольников С1HK и ABC, если 
и 
ИЛИ
Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины С. Точки O1 и O2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ВСD и АСD.
а) Докажите, что точки O1 и O2 лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой O1O2, если 
и 
а) По теореме Фалеса
откуда находим: 
Из равенства углов 
следует подобие треугольников BCC1 и HAC1, откуда находим:
Окончательно получаем, что
б) Заметим, что
Тогда
Здесь мы использовали результат пункт а).
По теореме косинусов
следовательно, 
Получаем:
а так как 
то
Следовательно, 
Таким образом, отношение площадей треугольников С1HK и ABC равно
Ответ: б) 
ИЛИ
а) Отрезок CD — радиус окружности, поэтому треугольник CDE равнобедренный. Отрезок CO1 — биссектриса угла ECD, поэтому треугольники ECO1 и DCO1 равны. Тогда
Отсюда точка O1 лежит на хорде EF. Совершенно аналогично получим, что точка O2 лежит на отрезке EF.
б) Из подобия треугольников ABC и ACD следует, что
Тогда 
Расстояние от точки С до отрезка O1O2 равно высоте треугольника CEF. Треугольник прямоугольный и равнобедренный, значит, расстояние равно половине гипотенузы EF, то есть 
Ответ: б)