PDF-версии: 
i
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Н. Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту АА1 в точке К.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение площадей треугольников С1HK и ABC, если 
и 
ИЛИ
Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины С. Точки O1 и O2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ВСD и АСD.
а) Докажите, что точки O1 и O2 лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой O1O2, если 
и 
откуда находим: 
Из равенства углов 
следует подобие треугольников BCC1 и HAC1, откуда находим:
Получаем:
то
Расстояние от точки С до отрезка O1O2 равно высоте треугольника CEF. Треугольник прямоугольный и равнобедренный, значит, расстояние равно половине гипотенузы EF, то есть 