ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 650570 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка левая круглая скобка 1012 плюс 1011 умножить на дробь: числитель: |x|, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате = a, логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка = 0 конец системы .$

имеет два различных решения.

ИЛИ

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $h левая круглая скобка x правая круглая скобка = a минус a в квадрате$ имеет хотя бы один корень, если

Спрятать решение

Решение.

Второе уравнение системы равносильно уравнению $y=2.$ Чтобы система имела два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы два различных решения имело уравнение

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка левая круглая скобка 1012 плюс 1011 умножить на дробь: числитель: |x|, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a.$

Рассмотрим два случая. При $x меньше 0$ находим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка левая круглая скобка 1012 плюс 1011 умножить на дробь: числитель: минус x, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка левая круглая скобка 1012 плюс 1011 умножить на дробь: числитель: минус x, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a.$

Полученное уравнение (см. рис. 1) при $a больше 4$ имеет ровно один отрицательный корень, при $a меньше или равно 4$ не имеет отрицательных корней.

Рис. 1

Рис. 2

При $x больше 0$ находим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка левая круглая скобка 1012 плюс 1011 умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка 2023 плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 = a.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка левая круглая скобка 1012 плюс 1011 умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2023 правая круглая скобка 2023 плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = a равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 = a.$

Полученное уравнение (см. рис. 2) при $a меньше 1$ не имеет корней, при $a =1$ имеет ровно один положительный корень, при $1 меньше a меньше 5$ имеет два положительных корня, при $a больше или равно 5$ имеет ровно один положительный корень.

Объединяя результаты рассмотренных случаев, заключаем, что исходная система имеет два различных решения при $1 меньше a меньше или равно 4$ и $a больше или равно 5.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

ИЛИ

Выясним возможные значения параметра. Подставим $h левая круглая скобка x правая круглая скобка =a минус a в квадрате$ в равенство из условия, получаем:

Заменим $h левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на $a минус a в квадрате$ ещё раз, имеем:

Левая часть полученного уравнения не меньше 64, так как $16 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 16 конец аргумента больше или равно 16 умножить на 4$ при всех x. Положим

тогда уравнение принимает вид $16 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 16 конец аргумента =f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Для отрицательных x функция f возрастает, так как при любом раскрытии модулей коэффициент при x положительный. Для неотрицательных x функция f убывает, поскольку при любом раскрытии модулей коэффициент при x отрицательный. Значит,

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =24|a| плюс 8|a| минус 4a в квадрате =32|a| минус 4a в квадрате .$

Уравнение $16 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 16 конец аргумента =f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ может иметь корни, только если

$64 меньше или равно 32|a| минус 4a в квадрате равносильно 4a в квадрате минус 32|a| плюс 6 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2|a| минус 8 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно 2|a|=8 равносильно совокупность выражений a=4, a= минус 4. конец совокупности .$ $64 меньше или равно 32|a| минус 4a в квадрате равносильно 4a в квадрате минус 32|a| плюс 6 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2|a| минус 8 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно 2|a|=8 равносильно совокупность выражений a=4, a= минус 4. конец совокупности .$

Осталось проверить, что при найденных значениях параметра уравнение действительно имеет хотя бы одно решение. Ясно, что число $x=0$ является решением.

Ответ: $a = \pm 4.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь