ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 650568 Добавить в вариант

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

  —  каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна 2580 тыс. рублей. Найдите величину долга (в тыс. руб.) в конце июля 2032 года.

ИЛИ

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t₀ рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в два с половиной раза (до $t_1 = 2,5 t_0 правая круглая скобка ,$ сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства товара составляет 9000 – 2t единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе?

Спрятать решение

Решение.

Пусть долг в июле 2030 года составит 5S тыс. руб., тогда в первые пять лет долг должен уменьшаться на $дробь: числитель: 1300 минус 5S, знаменатель: 5 конец дроби ,$ то есть на $260 минус S$  тыс. руб., а в следующие пять лет  — на S тыс. руб. Составим таблицу.

Год	Долг в январе после начисления процентов, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг в июле, тыс. руб.
2025			1300
2026	$1,2 умножить на 1300$	$1,2 умножить на 1300 минус левая круглая скобка 1040 плюс S правая круглая скобка$	$1040 плюс S$
2027	$1,2 левая круглая скобка 1040 плюс S правая круглая скобка$	$1,2 умножить на левая круглая скобка 1040 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 780 плюс 2S правая круглая скобка$	$780 плюс 2S$
2028	$1,2 левая круглая скобка 780 плюс 2S правая круглая скобка$	$1,2 умножить на левая круглая скобка 780 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 520 плюс 3S правая круглая скобка$	$520 плюс 3S$
2029	$1,2 левая круглая скобка 520 плюс 3S правая круглая скобка$	$1,2 левая круглая скобка 520 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 260 плюс 4S правая круглая скобка$	$260 плюс 4S$
2030	$1,2 левая круглая скобка 260 плюс 4S правая круглая скобка$	$1,2 левая круглая скобка 260 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S$	$5S$
2031	$1,2 умножить на 5S$	$1,2 умножить на 5S минус 4S$	$4S$
2032	$1,2 умножить на 4S$	$1,2 умножить на 4S минус 3S$	$3S$
...	...	...	...
2034	$1,2 умножить на 2S$	$1,2 умножить на 2S минус S$	$S$
2035	$1,2 умножить на S$	$1,2 умножить на S минус 0$	$0$

Выплаты в первые пять лет представляют собой арифметическую прогрессию, найдём их сумму:

$B_2026 минус 2030=$
$= \underbrace1,2 умножить на 1300 минус левая круглая скобка 1040 плюс S правая круглая скобка _1 минус я выплата плюс \underbrace1,2 умножить на левая круглая скобка 1040 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 780 плюс 2S правая круглая скобка _2 минус я выплата плюс \underbrace1,2 умножить на левая круглая скобка 780 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 520 плюс 3S правая круглая скобка _3 минус я выплата плюс \underbrace1,2 левая круглая скобка 520 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 260 плюс 4S правая круглая скобка _4 минус я выплата плюс \underbrace1,2 левая круглая скобка 260 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S_5 минус я выплата=$
$= дробь: числитель: 1,2 умножить на 1300 минус левая круглая скобка 1040 плюс S правая круглая скобка плюс 1,2 левая круглая скобка 260 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=$
$= дробь: числитель: 832 минус 1,2S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = левая круглая скобка 416 минус 0,6S правая круглая скобка умножить на 5 = 2080 минус 3S .$

Выплаты в последние пять лет также представляют собой арифметическую прогрессию, найдём их сумму:

$B_2031 минус 2035= \underbrace1,2 умножить на 5S минус 4S_6 минус я выплата плюс ... плюс \underbrace1,2 умножить на 2S минус S_9 минус я выплата плюс \underbrace1,2 умножить на S_10 минус я выплата =$
$= дробь: числитель: 1,2 умножить на 5S минус 4S плюс 1,2 умножить на S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = дробь: числитель: 3,2S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 8S.$ $B_2031 минус 2035=$
$= \underbrace1,2 умножить на 5S минус 4S_6 минус я выплата плюс ... плюс \underbrace1,2 умножить на 2S минус S_9 минус я выплата плюс \underbrace1,2 умножить на S_10 минус я выплата =$
$= дробь: числитель: 1,2 умножить на 5S минус 4S плюс 1,2 умножить на S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = дробь: числитель: 3,2S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 8S.$

Сумма всех выплат по условию равна 2580 тыс. руб., тогда

$2080 минус 3S плюс 8S=2580 равносильно 5S=500 равносильно S=100.$

Таким образом, долг в июле 20302 года составит 300 тыс. руб.

Ответ: 300 тыс. руб.

ИЛИ

Сумма отличных от нуля налоговых сборов равна произведению величины налога за единицу продукции на количество произведенных единиц, то есть дается функцией $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка 9 000 минус 2t правая круглая скобка t,$ где $0 меньше t меньше 4500.$ Функция f(t)  — квадратичная с отрицательным старшим коэффициентом. На интервале (0; 4500) она достигает наибольшего значения в точке максимума $t_max.$ По условию $f левая круглая скобка t_0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 2,5t_0 правая круглая скобка ,$ значит,

$t_max = дробь: числитель: t_0 плюс 2,5t_0, знаменатель: 2 конец дроби =1,75t_0.$

Составим пропорцию:

налог 2,5t₀,       —      100%

налог 1,75t₀,       —         x%  

откуда

$x= дробь: числитель: 1,75t_0 умножить на 100, знаменатель: 2,5t_0 конец дроби = дробь: числитель: 1750, знаменатель: 25 конец дроби = 70.$

Значит, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, государству следует уменьшить налог на $100 \% минус 70 \% = 30\%.$

Ответ: 30.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь