РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 650567 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство:

ИЛИ

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби больше или равно минус 1.$

Решение. Заметим, что $1 плюс 3 в степени x больше 0$ и $дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 0$ для любых значений x, тогда

$логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно совокупность выражений система выражений |2 x плюс 2| больше 1, 0 меньше левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , конец системы . система выражений 0 меньше |2 x плюс 2| меньше 1, левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка больше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0. конец системы . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка |2 x плюс 2| правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений |2 x плюс 2| больше 1, 0 меньше левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , конец системы . система выражений 0 меньше |2 x плюс 2| меньше 1, левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка больше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0. конец системы . конец совокупности .$

Решим первую систему полученной совокупности:

$система выражений |2 x плюс 2| больше 1, 0 меньше левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений 2x плюс 2 больше 1, 2x плюс 2 меньше минус 1, конец системы . левая круглая скобка 1 минус 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка 1 минус 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 1 минус 3 в степени x больше 0, 1 минус 3 в степени x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 3 в степени x меньше 1, 3 в степени x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0.$ $система выражений |2 x плюс 2| больше 1, 0 меньше левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 2x плюс 2 больше 1, 2x плюс 2 меньше минус 1, конец системы . левая круглая скобка 1 минус 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка 1 минус 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 1 минус 3 в степени x больше 0, 1 минус 3 в степени x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 3 в степени x меньше 1, 3 в степени x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0.$ $система выражений |2 x плюс 2| больше 1, 0 меньше левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 2x плюс 2 больше 1, 2x плюс 2 меньше минус 1, конец системы . левая круглая скобка 1 минус 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка 1 минус 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка меньше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 1 минус 3 в степени x больше 0, 1 минус 3 в степени x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 3 в степени x меньше 1, 3 в степени x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0.$

Решим вторую систему:

$система выражений 0 меньше |2 x плюс 2| меньше 1, левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка больше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений минус 1 меньше 2 x плюс 2 меньше 0, 0 меньше 2 x плюс 2 меньше 1, конец системы . 1 минус 3 в степени x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 3 в степени x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1.$ $система выражений 0 меньше |2 x плюс 2| меньше 1, левая круглая скобка 1 минус 9 в степени x правая круглая скобка больше левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений минус 1 меньше 2 x плюс 2 меньше 0, 0 меньше 2 x плюс 2 меньше 1, конец системы . 1 минус 3 в степени x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . 3 в степени x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1.$

Объединяя результаты, получаем: $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1$ или $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0.$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка .$

ИЛИ

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби плюс 1 больше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс x конец дроби минус 1 правая круглая скобка : левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 , дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 4 минус 4x, знаменатель: минус x левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , минус 2 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0, 1 меньше или равно x меньше 2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби плюс 1 больше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс x конец дроби минус 1 правая круглая скобка : левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 , дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 4 минус 4x, знаменатель: минус x левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , минус 2 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0, 1 меньше или равно x меньше 2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби плюс 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2 минус x правая круглая скобка 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс x конец дроби минус 1 правая круглая скобка : левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 , дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 4 минус 4x, знаменатель: минус x левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , минус 2 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше 0, 1 меньше или равно x меньше 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Ключ