РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Владелица супермаркета «Новогоднее счастье от Алевтины» организовала распродажу новогодних сувениров. В течение дня покупатели приходили к кассиру, чтобы расплатиться (сумма любого платежа  — четное число рублей). Каждый протягивал купюру 5000 рублей, а кассир выдавал сдачу, имея только 300 монет по 10 рублей и 500 монет по 2 рубля. По итогам дня все монеты оказались потраченными на сдачи.

а)  Могло ли за день быть 250 покупателей, если все они получили равную сдачу?

б)  Каким могло быть наибольшее число покупателей, если каждый получил одинаковую сдачу?

в)  Для какого наибольшего числа покупателей кассир мог выдать на сдачу все монеты при любом распределении сдач, не противоречащим условию?

ИЛИ

Трёхзначное число А имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и А).

а)  Может ли k быть равно 7?

б)  Может ли k быть равно 25?

в)  Найдите наибольшее значение k.

Решение. Общая сумма сдач составила $300 умножить на 10 плюс 500 умножить на 2 = 4000 руб.$

а)  Каждый должен был получить $4000 : 250 = 16 руб.$ сдачи. Значит, каждый мог получить не более одной десятирублевой монеты. Поэтому раздать все 300 монет не получилось бы.

б)  Ясно, что каждая сдача была не меньше 10 руб., иначе десятки вообще не получилось бы раздать. Значит, покупателей было не более $4000 : 10 = 400$  человек. Такая ситуация возможна, если триста получили сдачу по десятке, а остальные сто  — по пять двушек.

в)  Будем выдавать каждому покупателю сдачу десятками, пока можем. Если десятки кончатся или величина сдачи меньше десяти рублей  — выдадим ее двушками. Поскольку все сдачи четны, в случае окончания десяток выдать все оставшиеся сдачи будет можно. Если же десятки не кончатся, каждый получит не более 4 двушек. Значит, удастся обеспечить не менее 125 человек. Более того, если их 126, можно просто отдать последнему все оставшиеся в кассе деньги.

Если же их 127 или больше, то рассмотрим вариант, когда 126 из них должны получить по 8 руб. (то есть по четыре двушки), один  — все остальные деньги, а остальные  — ничего. На это понадобится $126 умножить на 4 = 504 больше 500$ двушек, которых не хватает.

Ответ: а)  нет; б)  400; в)  126.

ИЛИ

Как известно, количество делителей числа, разложенного на простые множители $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка$ равно $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка .$

а)  Да. Можно взять число $3 в степени 6 = 729,$ оно имеет $6 плюс 1 = 7$ делителей.

б)  Очевидно, что если

$левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка = 25,$

то либо n  =  1 и k₁  =  24, либо n  =  2 и $k_1 = k_2 = 4.$ Минимальными числами с такими разложениями будут 2²⁴ и $2 в степени 4 умножить на 3 в степени 4 ,$ но оба этих числа больше 1000.

в)  Разрешим даже числу быть одно- или двузначным. Рассмотрим разложение числа на простые множители. Если в нем нет множителя 2, заменим один из простых множителей на 2  — число уменьшится, а количество делителей не изменится. Поэтому можно считать, что один его простых множителей это 2. Если у числа есть еще простые множители, то точно так же можно считать один из них тройкой и так далее. Итак, в разложение входят только первые простые числа, причем не более четырех, поскольку

$2 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на 11 больше 1000.$

Кроме того можно считать, что показатель степени самый большой у двойки, следующий у тройки и так далее (иначе поменяем показатели местами, уменьшив число). Теперь разберем случаи.

1.  Если сомножителей четыре, то число кратно 210. Имеет смысл рассматривать только $2 в кубе умножить на 3 умножить на 5 умножить на 7 = 840,$ оно имеет 32 делителя.

2.  Если сомножителей три, то число кратно 30. Если при этом число кратно 5², то кратно и 3², и 2², поэтому кратно $900 = 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате .$ Значит, оно равно 900 и имеет 27 делителей. Если же число кратно пяти лишь в первой степени, рассмотрим показатель тройки в его разложении.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 5$ можно взять k  =  7 и получить 16 делителей.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 3 умножить на 5$ можно взять k  =  6 и получить 28 делителей.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 3 в квадрате умножить на 5$ можно взять k  =  4 и получить 30 делителей.

Для чисел вида $2 в степени k умножить на 3 в кубе умножить на 5$ нельзя взять даже k  =  3, число получится четырехзначным.

3.  Если сомножителей в разложении два, то делители числа имеют вид $2 в степени a умножить на 3 в степени b .$ Все делители разбиваются на пары, дающие в произведении исходное число, причем в каждой паре есть число, не превосходящее 31, поскольку $32 в квадрате больше 1000.$ Среди чисел от 1 до 31 нужные разложения на множители имеют только 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, что дает не более 12 пар делителей и не более чем 24 делителя.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  32.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ