PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Найдем область определения функции
Квадратный корень 
определен для неотрицательных значений аргумента:
Преобразуем выражение, стоящее под знаком первого из корней:
Решим уравнение 
откуда
Сравним числа:
Таким образом, 
На области определения верно неравенство 
а потому
Рассмотрим уравнение 
Правая часть должна быть определена, а потому должно быть верным неравенство 
откуда 
Кроме того, должно выполняться неравенство 
откуда получаем:
Находим корни уравнения: 
Сравним числа:
Таким образом, получаем, что неравенство 
равносильно совокупностям:
Представим функцию f в виде
Заметим, что при 
функция 
возрастает; функция 
также возрастает, так как 
а старший коэффициент меньше 0; функция 
убывает; функция 
также убывает, так как 
а старший коэффициент меньше 0. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть неотрицательная возрастающая функция; сумма убывающих функций — убывающая функция; частное неотрицательной возрастающей и положительной убывающей функции — возрастающая функция. Таким образом, все значения функции f от 
до f(5) принимаются по одному разу. Найдем значения функции в крайних точках:
и
Кроме того, 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение при условии
Сравним числа:
Тем самым найдено, что 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |