РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 654105 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 453

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $3 косинус 4 x плюс 2 косинус 2 x левая круглая скобка 10 косинус в степени 4 x плюс 3 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка 0 ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Разложим правую часть уравнения на множители:

$3 косинус 4 x плюс 2 косинус 2 x левая круглая скобка 10 косинус в степени 4 x плюс 3 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 =$

$= 6 косинус в квадрате 2x минус 3 плюс 2 косинус 2 x левая круглая скобка 10 косинус в степени 4 x плюс 3 косинус в квадрате x плюс 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 =$

$= 2 косинус 2 x левая круглая скобка 10 косинус в степени 4 x плюс 2 косинус в квадрате x плюс 3 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =$

$= 2 косинус 2 x левая круглая скобка 10 косинус в степени 4 x плюс 8 косинус в квадрате x минус 2 правая круглая скобка = 2 косинус 2 x левая круглая скобка 10 косинус в квадрате x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка .$

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

$совокупность выражений косинус 2x=0, 5 косинус в квадрате x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k} 2, x = \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: к конец дроби онец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z конец аргумента .$

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0 ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности (см. рис). Подходят: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k} 2 ; \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: к конец дроби онец дроби плюс Пи k : k принадлежит \mathbb{Z конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

654105

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k} 2 ; \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: к конец дроби онец дроби плюс Пи k : k принадлежит \mathbb{Z конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 453

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654105	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k} 2 ; \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5, знаменатель: к конец дроби онец дроби плюс Пи k : k принадлежит \mathbb{Z конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$