а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD (точка S  — вер­ши­на, BD  — диа­го­наль ос­но­ва­ния) об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 60°, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4,8. Через сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка ABD, не пе­ре­се­ка­ю­щую BD и точку на вы­со­те пи­ра­ми­ды, от­сто­я­щей от ос­но­ва­ния на всей вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SKLM, где K, L и M  — точки пе­ре­се­че­ния α со­от­вет­ствен­но с реб­ра­ми SB, SD и SC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2024 года пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит целое число N млн руб. сро­ком на 3 года. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние N, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число мил­ли­о­нов руб­лей.

Ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂, ка­са­ю­щих­ся внеш­ним об­ра­зом в точке A, равны 6 и 3 со­от­вет­ствен­но. Их общая се­ку­щая, про­ве­ден­ная через точку A, пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке В, вто­рую  — в точке С.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из точки В ко вто­рой окруж­но­сти, если AB  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет не менее трех кор­ней.

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы два маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет, при­чем у любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый из детей от­да­ет со­се­ду спра­ва чет­верть своих кон­фет, при этом каж­дый из детей от­да­ет на­ту­раль­ное число кон­фет. После этого у любых двух де­во­чек ста­но­вит­ся рав­ное число кон­фет, а у любых двух маль­чи­ков  — раз­ное.

а)  Может ли число детей быть рав­ным пяти?

б)  Какое наи­мень­шее число детей может сто­ять в круге, если сум­мар­но у них 1020 кон­фет?

в)  Какое наи­боль­шее число детей может сто­ять в круге, если сум­мар­но у них 1020 кон­фет?