Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (точка S — вершина, BD — диагональ основания) образует с основанием 
всей высоты пирамиды, проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна ребру SC.
б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M — точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
а) Пусть точка O — центр основания, отрезок PQ — средняя линия треугольника ABD, T — точка пересечения плоскости α с высотой SO, N — точка пересечения прямых PQ и AC. Прямая NT лежит в плоскости α, тогда из условия следует, что точка ее пересечения с ребром SC — это точка M. Проекцией бокового ребра SC является диагональ основания AC, следовательно, угол SCO равен 60°. Тогда
следовательно,
Таким образом, угол TNO равен 30°, то есть 
Это означает, что треугольник MNC прямоугольный. Заметим, что прямые MN и SC перпендикулярны. Прямая PQ параллельна прямой BD и, следовательно, перпендикулярна прямой AC, а также, как прямая, лежащая в основании пирамиды, перпендикулярна высоте пирамиды SO. Это означает, что прямая PQ перпендикулярна плоскости SAC и, следовательно, прямой SC. Таким образом, прямая SC перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости α, a значит, и всей плоскости α.
б) Плоскость α содержит прямую PQ, параллельную BD, а значит, параллельна BD. Тогда плоскость α пересекает плоскость SBD по прямой KL, параллельной BD. Треугольники SKL и SBD подобны с коэффициентом подобия 
Подобны также и прямоугольные треугольники SOC и SMT. Находим:
Отсюда получаем:
Из п. а) следует, что отрезок SM — высота пирамиды SKLM, а треугольник KLM — ее основание. По теореме о трех перпендикулярах прямые MT и KL взаимно перпендикулярны. Тогда 
откуда находим объем пирамиды SKLM:
Ответ: б) 