Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 654110
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6| плюс 1 конец ар­гу­мен­та умно­жить на де­ся­тич­ный ло­га­рифм в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 6 a минус a в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 a минус a в квад­ра­те минус 4 конец ар­гу­мен­та умно­жить на де­ся­тич­ный ло­га­рифм в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка |x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6| плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет не менее трех кор­ней.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим знаки каж­до­го из че­ты­рех мно­жи­те­лей на об­ла­сти опре­де­ле­ния:

|x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6| плюс 1 боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6| плюс 1 конец ар­гу­мен­та боль­ше 1,

ана­ло­гич­но \lg левая круг­лая скоб­ка |x в квад­ра­те плюс 6x плюс 6 | плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, а по­сколь­ку дол­жен су­ще­ство­вать \lg в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка |x в квад­ра­те плюс 6x плюс 6 | плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , оба этих ло­га­риф­ма по­ло­жи­тель­ны.

По­сколь­ку три из че­ты­рех мно­жи­те­лей боль­ше нуля, то и чет­вер­тый боль­ше нуля:

\lg в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 6a минус a в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но 6a минус a в квад­ра­те минус 4 боль­ше 1.

Кроме того, 6a минус a в квад­ра­те минус 4 = 5 минус левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 5. С уче­том всех огра­ни­че­ний на­хо­дим:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 мень­ше 6 a минус a в квад­ра­те минус 4 мень­ше или равно 5, x в квад­ра­те плюс 6x плюс 6 не равно 0, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6| плюс 1 конец ар­гу­мен­та умно­жить на де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка |x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6 | плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6a минус a в квад­ра­те минус 4 конец ар­гу­мен­та умно­жить на де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 6a минус a в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка . конец си­сте­мы .

Рас­смот­рим функ­цию f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та умно­жить на де­ся­тич­ный ло­га­рифм t при t боль­ше 1. По­сколь­ку оба мно­жи­те­ля по­ло­жи­тель­ны и воз­рас­та­ют, то и f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 воз­рас­тет. По­это­му если f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = f левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка при x боль­ше 1 и y боль­ше 1, то x = y. Зна­чит,

си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 мень­ше 6a минус a в квад­ра­те минус 4 мень­ше или равно 5, x в квад­ра­те плюс 6x плюс 6 не равно 0, |x в квад­ра­те плюс 6 x плюс 6| плюс 1 = 6a минус a в квад­ра­те минус 4, конец си­сте­мы .

по­лу­чен­ная си­сте­ма долж­на иметь не менее трех ре­ше­ний.

Функ­ция g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = x в квад­ра­те плюс 6x плюс 6 = левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 квад­ра­тич­ная с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, по­это­му при­ни­ма­ет все зна­че­ния от y_в = минус 3 вклю­чая до плюс бес­ко­неч­ность , при­чем зна­че­ния от левая круг­лая скоб­ка минус 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка по два раза. Зна­чит, |g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка | плюс 1 при g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0 при­ни­ма­ет все зна­че­ния из ин­тер­ва­ла (1; 4) по че­ты­ре раза, зна­че­ние 4  — три­жды, зна­че­ния из луча левая круг­лая скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — по два раза. Таким об­ра­зом, по­дой­дут все такие a, что 1 мень­ше 6 a минус a в квад­ра­те минус 4 мень­ше или равно 4, от­ку­да на­хо­дим:

си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те минус 6a плюс 5 мень­ше 0 , a в квад­ра­те минус 6a плюс 8 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 , левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 4; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 453
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Метод ин­тер­ва­лов, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025