PDF-версии: 
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD, в котором 
а ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что 
а) Найдите объем пирамиды.
б) Найдите радиус шара, касающегося граней ABCD, SAB, SBC и ребра SD.
Решение. а) Заметим, что
следовательно, треугольник ACD — прямоугольный. Пусть четырехeгольник ABCD — выпуклый, а M — точка пересечения его диагоналей. Тогда точка M — середина AC, а AM = CM = DM = 1, а диагонали пересекаются под прямым углом. Получаем:
следовательно,
Отрезки AD и BD являются проекциями наклонных SA и SB. Значит, последнее неравенство неверно, а потому четырехугольник ABCD не является выпуклым, и, значит, его диагонали не пересекаются.
В случае, когда четырехугольник ABCD невыпуклый, точка D лежит на медиане BM треугольника ABC. Обозначим высоту пирамиды SD = h, получаем:
Таким образом, можем составить уравнение 
Решим его обозначив 
Тогда
Значит, 
откуда находим:
б) Пусть точка O — центр шара, его радиус обозначим r. Заметим, что пирамиду SBCD можно разбить на три непересекающиеся пирамиды OBCD, OBCS и OCDS, основаниями которых являются треугольники BCD, BCS и CDS, соответственно. Высоты первых двух пирамид равны r. Высота пирамиды OCDS перпендикулярна прямой SD и, следовательно, параллельна плоскости BCD (а потому равна своей проекции на эту плоскость) и прямой CD. Тогда проекция образует проведенной из точки O на ребро SD проекцией радиуса, равной этому радиусу, угол 45°. Таким образом, высота пирамиды OCDS равна 
Из п. а) следует, что SB = 2, 
то есть равнобедренные треугольники BCS, ACS и ABC — равны. Находим:
Радиус шара найдем из равенства
Ответ: 
Приведем другое решение п. б)
Введем систему координат с центром в точке M, пусть ось x направим вдоль прямой AC, ось y — вдоль прямой BM, ось z параллельна прямой SD. Пусть так же радиус шара равен r. Тогда координаты центра сферы O(0, r + 1, r). Найдем уравнение плоскости SBC, проходящей через точки B (0, 2 0), С (1, 0, 0) и 
Для этого в общее уравнение плоскости 
подставим известные координаты точек. Получим уравнения:
Положим b = 1, тогда d = –2, a = 2, 
Таким образом, получено уравнение плоскости SBC:
Расстояние от центра сферы О до плоскости SBC равно радиусу r. По формуле расстояния от точки до плоскости имеем
Второе значение отрицательно, поэтому 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |