а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит че­ты­рех­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром а ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Из­вест­но, что

а)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус шара, ка­са­ю­ще­го­ся гра­ней ABCD, SAB, SBC и ребра SD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Фёдор от­ло­жил 15 ян­ва­ря 2023 года опре­делённую сумму денег и пла­ни­ру­ет от­кла­ды­вать такую же сумму денег 15 июля и 15 ян­ва­ря каж­до­го года для того, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить пакет акций. Пер­во­го ян­ва­ря 2023 года пакет акций стоил 132 000 руб­лей. Пер­во­го ян­ва­ря и пер­во­го июля каж­до­го года пакет акций до­ро­жа­ет на 30%. Какую наи­мень­шую сумму нужно Фёдору от­кла­ды­вать каж­дые пол­го­да, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить же­ла­е­мый пакет акций?

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность с цен­тром в точке O, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке К. Окруж­ность в точке O₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке L, а также про­дол­же­ний сто­рон АС и ВС.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка AOBO₁ можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ков AOBO₁ и KOLO₁, если из­вест­но, что AB  =  8, AC  =  6, BC  =  10.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при каж­дом из ко­то­рых най­дет­ся такое число a, что си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние (x; y).

Все 36 уче­ни­ков 11-го клас­са два раза пи­са­ли тест, ко­то­рый может быть оценён в любое целое ко­ли­че­ство бал­лов от 0 до 100 вклю­чи­тель­но. Не­це­лое число бал­лов за тест никто по­лу­чить не может. В ре­зуль­та­те каж­до­го из двух те­сти­ро­ва­ний сред­ний балл всего клас­са, сред­ний балл всех уче­ни­ков, по­лу­чив­ших менее 39 бал­лов, и сред­ний балл всех уче­ни­ков, по­лу­чив­ших не менее 39 бал­лов, ока­за­лись це­лы­ми чис­ла­ми. При пер­вом те­сти­ро­ва­нии ровно трое уче­ни­ков по­лу­чи­ли за тест менее 39 бал­лов каж­дый.

а)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ный сред­ний балл М всего клас­са по ито­гам пер­во­го те­сти­ро­ва­ния. Какой при этом сред­ний балл трёх уче­ни­ков, по­ка­зав­ших худ­шие ре­зуль­та­ты?

б)  Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ный сред­ний балл всего клас­са по ито­гам пер­во­го те­сти­ро­ва­ния. Какой при этом сред­ний балл трёх уче­ни­ков, по­ка­зав­ших худ­шие ре­зуль­та­ты?

в)  По ито­гам вто­ро­го те­сти­ро­ва­ния сред­ний балл всего клас­са ока­зал­ся равен М + 1. Най­ди­те при этом усло­вии ко­ли­че­ство N уче­ни­ков, на­брав­ших не менее 39 бал­лов. Какой при этом сред­ний балл у этих N уче­ни­ков?