а)  За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ACD  — пря­мо­уголь­ный. Пусть че­ты­рехeголь­ник ABCD  — вы­пук­лый, а M  — точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей. Тогда точка M  — се­ре­ди­на AC, а AM  =  CM  =  DM  =  1, а диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом. По­лу­ча­ем:

сле­до­ва­тель­но,

От­рез­ки AD и BD яв­ля­ют­ся про­ек­ци­я­ми на­клон­ных SA и SB. Зна­чит, по­след­нее не­ра­вен­ство не­вер­но, а по­то­му че­ты­рех­уголь­ник ABCD не яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, и, зна­чит, его диа­го­на­ли не пе­ре­се­ка­ют­ся.

В слу­чае, когда че­ты­рех­уголь­ник ABCD не­вы­пук­лый, точка D лежит на ме­ди­а­не BM тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим вы­со­ту пи­ра­ми­ды SD = h, по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, можем со­ста­вить урав­не­ние Решим его обо­зна­чив Тогда

Зна­чит, от­ку­да на­хо­дим:

б)  Пусть точка O  — центр шара, его ра­ди­ус обо­зна­чим r. За­ме­тим, что пи­ра­ми­ду SBCD можно раз­бить на три не­пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пи­ра­ми­ды OBCD, OBCS и OCDS, ос­но­ва­ни­я­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся тре­уголь­ни­ки BCD, BCS и CDS, со­от­вет­ствен­но. Вы­со­ты пер­вых двух пи­ра­мид равны r. Вы­со­та пи­ра­ми­ды OCDS пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SD и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­на плос­ко­сти BCD (а по­то­му равна своей про­ек­ции на эту плос­кость) и пря­мой CD. Тогда про­ек­ция об­ра­зу­ет про­ве­ден­ной из точки O на ребро SD про­ек­ци­ей ра­ди­у­са, рав­ной этому ра­ди­у­су, угол 45°. Таким об­ра­зом, вы­со­та пи­ра­ми­ды OCDS равна 

Из п. а) сле­ду­ет, что SB  =  2, то есть рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки BCS, ACS и ABC  — равны. На­хо­дим:

Ра­ди­ус шара най­дем из ра­вен­ства

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние п. б)

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке M, пусть ось x на­пра­вим вдоль пря­мой AC, ось y  — вдоль пря­мой BM, ось z па­рал­лель­на пря­мой SD. Пусть так же ра­ди­ус шара равен r. Тогда ко­ор­ди­на­ты цен­тра сферы O(0, r + 1, r). Най­дем урав­не­ние плос­ко­сти SBC, про­хо­дя­щей через точки B (0, 2 0), С (1, 0, 0) и Для этого в общее урав­не­ние плос­ко­сти под­ста­вим из­вест­ные ко­ор­ди­на­ты точек. По­лу­чим урав­не­ния:

По­ло­жим b  =  1, тогда d  =  –2, a  =  2, Таким об­ра­зом, по­лу­че­но урав­не­ние плос­ко­сти SBC:

Рас­сто­я­ние от цен­тра сферы О до плос­ко­сти SBC равно ра­ди­у­су r. По фор­му­ле рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти имеем

Вто­рое зна­че­ние от­ри­ца­тель­но, по­это­му