РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 655101 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 456

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Между цифрами двузначного натурального числа n вставляют ещё одну цифру так, чтобы полученное трехзначное число m делилось на n. Число n не может начинаться с нуля.

а)  Может ли быть $m = 8 n ?$

б)  Чему равно наименьшее возможное значение $дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби ?$

в)  Чему равно наибольшее возможное значение $дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби ?$

Решение. Пусть число состояло из цифр a и c, а вставили в него цифру b. Тогда $n = 10 a плюс c,$ $m = 100 a плюс 10 b плюс c.$ Пусть также $дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби = x.$

а)  Если x  =  8, то

$100 a плюс 10 b плюс c = 8 левая круглая скобка 10 a плюс c правая круглая скобка ,$

откуда $20 a плюс 10 b = 7 c.$ Значит, c кратно 10 и потому c  =  0. Но тогда $20 a плюс 10 b = 0,$ откуда $a = b = 0,$ что невозможно.

б)  При n  =  18 и m  =  108 получаем, что x  =  6. Допустим, $x меньше или равно 5.$ Тогда

$100 a плюс 10 b плюс c меньше или равно 5 левая круглая скобка 10 a плюс c правая круглая скобка ,$

откуда $50 a плюс 10 b меньше или равно 4 c.$ Но

$50 a плюс 10 b больше или равно 50 умножить на 1 больше 4 умножить на 9 больше или равно 4 c.$

Противоречие.

в)  При n  =  10 и m  =  190 получаем, что x  =  19. Допустим, $x больше или равно 20.$ Тогда

$100 a плюс 10 b плюс c больше или равно 20 левая круглая скобка 10 a плюс c правая круглая скобка ,$

откуда $10 b больше или равно 100 a плюс 19 c.$ Но

$10 b меньше или равно 90 меньше 100 меньше или равно 100 a плюс 19 c.$

Противоречие.

Ответ: а) нет; б)  6; в)  19.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) нет; б)  6; в)  19.

655101

а) нет; б)  6; в)  19.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 456

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	655101	а) нет; б)  6; в)  19.