а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды FABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник ABCD, а плос­кость AFC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, тан­генс угла FAC равен тан­генс угла между пря­мой BC и плос­ко­стью AFC равен 2. Точка М лежит на ребре BC, Точка L лежит на пря­мой AF и рав­но­уда­ле­на от точек M и С. Центр сферы Ω, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды FABCD, лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ра­ди­ус этой сферы равен 4.

а)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды LAMC.

б)  Най­ди­те длину той части ребра LC, ко­то­рая на­хо­дит­ся внут­ри сферы Ω.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на во­семь лет в раз­ме­ре 400 тыс. руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг воз­рас­та­ет на q% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года  —  к июлю 2033 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью. Най­ди­те q и r, если из­вест­но, что сумма всех вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 650 тыс. руб., а общая сумма вы­плат за пер­вые че­ты­ре года боль­ше общей суммы вы­плат за по­след­ние че­ты­ре года на 140 тыс. руб.

В окруж­но­сти с цен­тром O по­стро­ен квад­рат KOFD так, что его вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти. Из точки B, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ной точке D, про­ве­де­ны две хорды АВ и ВC, про­хо­дя­щие через вер­ши­ны K и F квад­ра­та со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Между циф­ра­ми дву­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа n встав­ля­ют ещё одну цифру так, чтобы по­лу­чен­ное трех­знач­ное число m де­ли­лось на n. Число n не может на­чи­нать­ся с нуля.

а)  Может ли быть

б)  Чему равно наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние

в)  Чему равно наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние