Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 655099
i

В окруж­но­сти с цен­тром O по­стро­ен квад­рат KOFD так, что его вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти. Из точки B, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ной точке D, про­ве­де­ны две хорды АВ и ВC, про­хо­дя­щие через вер­ши­ны K и F квад­ра­та со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AK : KB = 1 : 5.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть диа­го­на­ли квад­ра­та пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Тогда KE = дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Зна­чит, тан­генс \angle KBE = дробь: чис­ли­тель: KE, зна­ме­на­тель: EB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да

ко­си­нус \angle KBE = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

За­ме­тим, что

AB = BD умно­жить на ко­си­нус \angle KBE = дробь: чис­ли­тель: 6 R, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

KB = дробь: чис­ли­тель: BE, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle KBE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 R, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, на­хо­дим:

AK : KB = левая круг­лая скоб­ка AB минус KB пра­вая круг­лая скоб­ка : KB = дробь: чис­ли­тель: R левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

б)  Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD:

S_ABCD = 2 S_ABCD = AB умно­жить на BD умно­жить на синус \angle KBE = дробь: чис­ли­тель: 6R, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на 2 R умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 12 R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 25 = 30.

Ответ: 30.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 456
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, От­но­ше­ние длин, пло­ща­дей, объ­е­мов по­доб­ных фигур
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025