Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 синус дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 = ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При­ме­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла:

1 минус ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

синус дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 2 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Пе­ре­не­сем вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 синус дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 4 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =
= синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Таким об­ра­зом, урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щим:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =0, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = Пи k, дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x =3 Пи k, x = 2 Пи плюс 6 Пи l, x = минус 2 Пи плюс 6 Пи m, конец со­во­куп­но­сти . k, l, m при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 2 Пи мень­ше или равно 3 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , минус 2 Пи мень­ше или равно 2 Пи плюс 6 Пи l мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , минус 2 Пи мень­ше или равно минус 2 Пи плюс 6 Пи m мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно l мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , 0 мень­ше или равно m мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = 0, k= 1, l = 0, m = 0, m = 1. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k, l и m со­от­вет­ству­ют корни: минус 2 Пи , 0, 2 Пи , 3 Пи , 4 Пи .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус 2 Пи плюс 6 Пи k, 2 Пи плюс 6 Пи k, 3 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус 2 Пи , 0, 2 Пи , 3 Пи , 4 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 456
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025